Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}項和為S_n，且滿足：2S_n=a_n²+a_n（n≥1，n∈N）．
（1）求a₁和a_n；
（2）設Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，判斷T_n與2的大小關系，并說明理由；
（3）設集合M=（m|m=2k，k∈N且1000≤k≤2011），若存在m₀∈M，使對滿足n＞m₀的一切正整數(shù)n，不等式Sn＞

1

2

a

2 n

+1005恒成立，問這樣的正整數(shù)m₀共有多少個？

Answer 1

分析：（1）由2Sn=an2+an，知當n=1時，2S1=a12+a1=2a1，且a_n＞0，得a₁=1．當n≥2時，2Sn-1=an-12+an-1，得2an=an2-an-12+an-an-1，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=0，a_n-a_n-1=1，故a_n=n．
（2）由a_n=n，知Sn=

n(n+1)

2

，故

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，由裂項求和法能夠導出T_n＜2．
（3）由Sn＞

1

2

an2+1005，知n＞2010，故m₀的最小值為2010．由題設知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，由此能夠求出滿足條件的正整數(shù)m₀的個數(shù)．

解答：解：（1）∵2Sn=an2+an，①
當n=1時，2S1=a12+a1=2a1，
且a_n＞0，得a₁=1．
當n≥2時，2Sn-1=an-12+an-1，②
①-②，得2an=an2-an-12+an-an-1，
化簡得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
而a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
即{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，
∴Sn=

n(n+1)

2

，
即

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）＜2．
∴T_n＜2．
（3）∵Sn＞

1

2

an2+1005，
∴n＞2010，
∴m₀的最小值為2010．
由題設知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，
∵m∈M，
∴m=2010，2012，…，4022均滿足條件．
設有k個數(shù)，則2010+2（k-1）=4022，k=1007．
故這樣的正整數(shù)m₀共有1007個．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．