Question

如圖，已知

AB

=（1，1），

CD

=（-2，-3），設(shè)

BC

=（x，y）．
（1）若四邊形ABCD為梯形，求x、y間的函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若以上梯形的對角線互相垂直，求

BC

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意，梯形ABCD中，用

AB

、

BC

、

CD

表示出

AD

，由

BC

與

AD

共線，用坐標(biāo)表示即可求出x、y的關(guān)系式；
（2）用坐標(biāo)表示出對角線

AC

、

BD

，由

AC

⊥

BD

，得出

AC

•

BD

=0，即得方程x²+y²-x-2y-5=0①；又y=2x②；由①②解出

BC

的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(x-1，y-2)，
∵

AB

與

CD

不共線，四邊形ABCD為梯形，
∴

BC

與

AD

共線；
∴y（x-1）-x（y-2）=0，
∴y=2x．
（2）

AC

=

AB

+

BC

=（x+1，y+1），

BD

=

BC

+

CD

=（x-2，y-3），

AC

⊥

BD

，
∴

AC

•

BD

=0；
∴（x+1）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，
即x²+y²-x-2y-5=0①；
又y=2x②，
由①②得，

x= 1+ 5 2 y=1+ 5

或

x= 1- 5 2 y=1- 5

；
∴

BC

=（

1+ 5

2

，1+

5

）或（

1- 5

2

，1-

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了利用向量的坐標(biāo)表示求函數(shù)的解析式以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合圖形，進(jìn)行計算，是綜合題目．