Question

12．在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)$C（{2，-\frac{π}{6}}）$為圓心，2為半徑的圓．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求圓C被直線$l：θ=\frac{π}{6}$所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)$C（{2，-\frac{π}{6}}）$化為直角坐標(biāo)：$（\sqrt{3}，-1）$，可得圓C的直角坐標(biāo)方程，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（2）把直線$l：θ=\frac{π}{6}$代入圓C的極坐標(biāo)方程即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)$C（{2，-\frac{π}{6}}）$化為直角坐標(biāo)：$（\sqrt{3}，-1）$，可得圓C的直角坐標(biāo)方程：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y+1）²=4，化為：x²+y²-2$\sqrt{3}$x+2y=0．
∴極坐標(biāo)方程為：ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ．
（2）把直線$l：θ=\frac{π}{6}$代入圓C的極坐標(biāo)方程可得：ρ=2$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{6}$-2sin$\frac{π}{6}$=2．
又圓C經(jīng)過原點(diǎn)，
∴圓C被直線$l：θ=\frac{π}{6}$所截得的弦長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．