Question

在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M為SB的中點，DS⊥面SAB．
（1）求證：CM∥面SAD；
（2）求證：CD⊥SD；
（3）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用平行線中的一條直線與令一條直線垂直，推出另一條直線垂直證明CD⊥SD；
（2）取SA中點N，連接ND，NM，證明NMCD是平行四邊形，通過ND∥MC，證明CM∥面SAD；
（3）利用V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD，求出V_S-ABD，即可求四棱錐S-ABCD的體積．

解答： （1）證明：取SA的中點，
∵M為SB的中點，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
∵AB=2，CD=1，
∴MN∥CD，MN=DC，
∴四邊形MNDC為平行四邊形，
∴CM∥ND，ND?面SAD，CM?面SAD；
∴CM∥面SAD


證明：（2）∵DS⊥面SAB，AB?面SAB．
∴DS⊥AB，
∵AB∥DC，
∴DS⊥DC，
解：（3）V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD=3：2，
過D作DH⊥AB，交于H，由題意得，BD=AD=

12+22

=

5

，
在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB=

( 5 )2-1

=2．
所以，V_S-ABD=V_D-SAB=

1

3

×S_△ABS×DS=

1

3

×

3

×1=

3

3

，
四棱錐S-ABCD的體積為：

3

2

×

3

3

=

3

2

；

點評：考查直線與直線垂直，直線與平面平行的證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．