Question

已知
（I）求的值；
（II）求證：與互相垂直；
（III）設(shè)且k≠0，求β-α的值．

Answer 1

解：（I）解：∵，
∴．（3分）
（II）證明：∵（）•（）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β
=0，
∴（）⊥（）．（8分）
（III）解：∵，
∴=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴
=，（12分）

=，
∵|k+|=|-k|，
∴，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴．（14分）
分析：（I）由，能求出的值．
（II）由（）•（）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能證明（）⊥（）．
（III）由，=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k+|=|-k|，能夠求出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的求法，求證：與互相垂直和求β-α的值．綜合性強(qiáng)，較繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)恒等變換的靈活運(yùn)用．