Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+2|（a為常數(shù)，且a∈R）；
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤5；
（2）當(dāng)a≥1時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|+|x+2|，設(shè)數(shù)軸上與-2，1對應(yīng)的點為A，B，將A，B分別向左，右平移1個單位得點A₁，B₁，利用絕對值的幾何意義可求得不等式f（x）≤5的解集；
（2）可通過分類討論將f（x）=|x-a|+|x+2|中的絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用各分段函數(shù)的單調(diào)性即可解決問題．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|+|x+2|，設(shè)數(shù)軸上與-2，1對應(yīng)的點為A，B，將A，B分別向左，右平移1個單位得點A₁（對應(yīng)-3），B₁（對應(yīng)2），
則|A₁A|+|A₁B|=5，
|B₁A|+|B₁B|=5，
∴不等式f（x）≤5的解集為[-3，2]．（4分）
（2）f（x）=|x-a|+|x+2|=，由于f（x）在x＜-2時為減函數(shù)，在x＞a時為增函數(shù)，所以f（x）的值域為[a+2，+∞）．（10分）
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，通過分類討論將f（x）=|x-a|+|x+2|中的絕對值符號去掉是解決問題的關(guān)鍵，突出化歸思想與分類討論思想的考查，屬于中檔題．