Question

已知函數(shù)f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時的x集合；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式的第三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得出f（x）的值域，進而確定出函數(shù)f（x）的最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出取得最大值時x的范圍，確定出此時x的集合；
（2）由第一問得到的解析式，根據(jù)f（A）=0，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出A=kπ+

π

3

（k∈Z），并根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，確定出A的度數(shù)，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB和sinC分別表示出b與c，代入b+c中，并根據(jù)A的度數(shù)，求出B+C的度數(shù)，用B表示出C代入b+c化簡后的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出b+c的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f（x）=1-

3

sin2x+2cos²x
=cos2x-

3

sin2x+2 （2分）
=2cos（2x+

π

3

）+2，（4分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，
∴0≤2cos（2x+

π

3

）+2≤4，
∴f（x）的最大值為4，（5分）
當(dāng)2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

6

（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取最大值，
則此時x的集合為{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；（7分）
（2）由f（A）=0得：2cos（2A+

π

3

）+2=0，即cos（2A+

π

3

）=-1，
∴2A+

π

3

=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+

π

3

（k∈Z），
又0＜A＜π，∴A=

π

3

，（9分）
∵a=1，sinA=

3

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，（10分）
又A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴b+c=

2

3

（sinB+sinC）=

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

2

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=2sin（B+

π

6

），（12分）
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則b+c的取值范圍為（1，2]．（14分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦、余弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．