Question

9．已知拋物線C：y²=4x，直線x=ny+4與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（Ⅱ）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線l₁為拋物線C的準(zhǔn)線，直線l₂是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0）作直線l：y₀y=2（x+x₀）與直線l₂相交于點(diǎn)M，與直線l₁相交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線x=ny+4與拋物線C聯(lián)立可得y²-4ny-16=0，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）求出M，N的坐標(biāo)，計(jì)算|MF|，|NF|，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線x=ny+4與拋物線C聯(lián)立可得y²-4ny-16=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-16，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=0；
（Ⅱ）證明：將點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別代入直線l：y₀y=2（x+x₀），
得M（1，$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），N（-1，$\frac{-2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），
∵F（1，0），∴|MF|=|$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$|，|NF|=$\sqrt{4+（\frac{-2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}）^{2}}$=$\frac{2}{|{y}_{0}|}\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}$，
∴$\frac{MF|}{|NF|}$=|$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$÷$\frac{2}{|{y}_{0}|}\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}$=$\frac{1+{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}+（{x}_{0}-1）^{2}}}$=1，
∴點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒為定值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．