Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=

17

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）直線l解析式變形后得到直線l恒過(guò)（1，1）點(diǎn)，而（1，1）點(diǎn)在圓C內(nèi)，即可確定出直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）由圓的半徑及弦長(zhǎng)．利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線的距離d，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）∵直線l：y-1=m（x-1）過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且|PC|=

(1-0)2+(1-1)2

=1＜

5

，即P點(diǎn)在圓C內(nèi)，
∴直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）∵圓半徑r=

5

，|AB|=

17

，
∴圓心（0，1）到l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=

3

2

，即

|-m|

m2+1

=

3

2

，
解得：m=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．