P、Q是拋物線(xiàn)y=x2上頂點(diǎn)以外的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).∠POQ=
π
4
,直線(xiàn)l1、l2分別是過(guò)P、Q兩點(diǎn)拋物線(xiàn)的切線(xiàn).(Ⅰ)則l1、l2的交點(diǎn)M點(diǎn)的軌跡方程是______;(Ⅱ)若l1、l2分別交x軸于A、B兩點(diǎn),則過(guò)△ABM的垂心與點(diǎn)(0,-
1
4
)
的直線(xiàn)方程是______.
(Ⅰ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x,y)
∵∠POQ=
π
4

2
2
=
OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
=
x1x2
(
x21
+  
x22
)(
y21
+
y22
)   
      ①
∵直線(xiàn)l1、l2分別是過(guò)P、Q兩點(diǎn)拋物線(xiàn)的切線(xiàn),y=x2,y′=2x
∴直線(xiàn)l1的方程為y-x12=2x1(x-x1
直線(xiàn)l2的方程為y-x22=2x2(x-x2
∴l(xiāng)1、l2的交點(diǎn)
x=
x1+x2
2
y=x1x2

∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=4x2-2y,y12+y22=x14+x24=(x12+x222-2x12x22=(4x2-2y)2-2y2   ②
將②代入①得
2
2
=
y
(4x2-2y)((4x2-2y)2-2y2)

化簡(jiǎn)得4x2-y2-6y-1=0(y≠0)
故答案為4x2-y2-6y-1=0(y≠0)
(Ⅱ)由(I)得,A(
x1
2
,0),B(
x2
2
,0)
過(guò)點(diǎn)A,且與l2垂直的直線(xiàn)方程為y=-
1
2x2
(x-
x1
2
)     ③
過(guò)點(diǎn)M,且與AB垂直的直線(xiàn)方程為x=
x1+x2
2
          ④
將④代入③得△ABM的垂心縱坐標(biāo)y=-
1
4

∴過(guò)△ABM的垂心與點(diǎn)(0,-
1
4
)
的直線(xiàn)方程是y=-
1
4

故答案為y=-
1
4
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上,且△ABC的重心為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),若BC所在直線(xiàn)l的方程為4x+y-20=0.
(I)求拋物線(xiàn)S的方程;
(II)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q是拋物線(xiàn)S上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足PO⊥OQ.試說(shuō)明動(dòng)直線(xiàn)PQ是否過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為
3
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在x軸上方的交點(diǎn)為M,過(guò)M作y軸的垂線(xiàn),垂足為N,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若四邊形OFMN的面積為4
3

(1)求拋物線(xiàn)的方程;
(2)若P,Q是拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn),且以線(xiàn)段PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O,求證:直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn),并指出定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

P、Q是拋物線(xiàn)y=x2上頂點(diǎn)以外的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).∠POQ=
π
4
,直線(xiàn)l1、l2分別是過(guò)P、Q兩點(diǎn)拋物線(xiàn)的切線(xiàn).(Ⅰ)則l1、l2的交點(diǎn)M點(diǎn)的軌跡方程是
4x2-y2-6y-1=0(y≠0)
4x2-y2-6y-1=0(y≠0)
;(Ⅱ)若l1、l2分別交x軸于A、B兩點(diǎn),則過(guò)△ABM的垂心與點(diǎn)(0,-
1
4
)
的直線(xiàn)方程是
y=-
1
4
y=-
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2005-2006學(xué)年江蘇省南通中學(xué)高三(下)4月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

P、Q是拋物線(xiàn)y=x2上頂點(diǎn)以外的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).∠POQ=,直線(xiàn)l1、l2分別是過(guò)P、Q兩點(diǎn)拋物線(xiàn)的切線(xiàn).(Ⅰ)則l1、l2的交點(diǎn)M點(diǎn)的軌跡方程是    ;(Ⅱ)若l1、l2分別交x軸于A、B兩點(diǎn),則過(guò)△ABM的垂心與點(diǎn)的直線(xiàn)方程是   

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