Question

某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）求ξ的分布；
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望及方差；
（3）記“函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)”為事件A，求事件A的概率．
（可能用到的數(shù)據(jù)：0.76²≈0.58，0.48²≈0.23，1.52²≈2.31，0.24²≈0.06）

Answer 1

分析：（1）客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3．相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

），由此能求出ξ的分布列；
（2）由（1）求出ξ的數(shù)學(xué)期望與方差；
（3）由于函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)，故f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0恒成立，解得ξ≤

2

，進(jìn)而得到事件A的概率．

解答：解：（1）∵ξ=1表示客人游覽了1個(gè)景點(diǎn)或2個(gè)景點(diǎn)
∴P（ξ=1）=1-0.4×0.5×0.6-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.76…（2分）
∵ξ=3表示客人游覽了0個(gè)景點(diǎn)或3個(gè)景點(diǎn)
∴P（ξ=3）=（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）+0.4×0.5×0.6=0.24…（5分）
故ξ的分布為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

（2）E（ξ）=1×0.76+3×0.24=1.48…（8分）
D（ξ）=（1-1.48）²×0.76+（3-1.48）²×0.24=0.23×0.76+2.31×0.24=0.7292
…（11分）
（3）∵函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)
∴f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0
∴ξ≤x+

1

2x

（x＞0）
∵x+

1

2x

≥

2

∴ξ≤

2

…（14分）
∴P(A)=P(ξ≤

2

)=P(ξ=1)=0.76…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差以及導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．