已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，則sin(θ+
π
6
)=
 
．
分析：根據(jù)
a
+
b
與
a
-4
b
垂直算出
a
•
b
=
5
3
，利用向量的夾角公式可得cosθ=
5
9
，結(jié)合θ∈（0，π）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出sinθ=
56
9
，再由兩角和的正弦公式加以計算，可得sin(θ+
π
6
)的值．
解答：解：∵|
a
|=3，|
b
|=1，
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，
∴（
a
+
b
）•（
a
-4
b
）=0，即
a
2-3
a
•
b
-4
b
2=0，
可得9-3
a
•
b
-4×1=0，解之得
a
•
b
=
5
3
．
∵
a
、
b
的夾角為θ，∴cosθ=
a
•
b
|a|
•
|b|
=
5
9
，
又∵θ∈（0，π），∴sinθ=
1-cos2θ
=
56
9
．
因此，sin(θ+
π
6
)=sinθcos
π
6
+cosθsin
π
6
=
56
9
×
3
2
+
5
9
×
1
2
=
2
42
+5
18
．
故答案為：
2
42
+5
18
．
點評：本題以兩角和的正弦公式為載體，著重考查了向量的數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)、兩個向量垂直的條件、向量的夾角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實數(shù)x，y的值分別是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當(dāng)θ∈[0，
π
2
]時，若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應(yīng)的x的值，并判斷此時向量
a
與x
a
-
b
是否垂直？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關(guān)系；
（3）若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關(guān)于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍．

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