Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a）， （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若f（2）=2，u_n=（n∈N），求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)的和S_n。

Answer 1

（Ⅰ）解：，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011425016401182.gif">，
所以f（1）=0；
（Ⅱ）f（x）是奇函數(shù)；
證明：因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011425016561236.gif">，所以f（-1）=0，
，
因此，f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）解：由，
猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，，公式成立；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，公式仍成立；
由上兩步可知，對(duì)任意成立，
所以，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011425018901448.gif">，
所以，，，
因此。