Question

在△ABC中，a²+b²=kc²，且cotC=2004（cotA+cotB），則常數(shù)k的值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)余弦定理表示出cosC，進(jìn)而對(duì)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，把切轉(zhuǎn)換成弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后，進(jìn)而利用正弦定理把角的正弦轉(zhuǎn)化成邊整理求得

k-1

2

=2004，則k的值可求．

解答：解：由余弦定理可知cosC=

1

2ab

（a²+b²-c²）=

(k-1)c2

2ab

cotC

cotA+cotB

=

cosC•sin A•sin B

(sin Acos B+sin Bcos A)•sinC

=

cos C•sin A•sin B

sin2C

=

(k-1)c2

2ab

•

sin A•sin B

sin2C

=2004
由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴

k-1

2

=2004
∴k=4009
故答案為：4009

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和靈活利用．