Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x²-4x-3，
（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）要求當(dāng)x∈（0，+∞）的f（x）的解析式而題中給的是當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)f（x）=-x²-4x-3故需將x＞0變形為-x＜0即可代入x∈（-∞，0）時(shí)f（x）=-x²-4x-3然后利用奇偶性即可得解．
（2）根據(jù)零點(diǎn)的定義令f（x）=0求此方程在各范圍內(nèi)的解即為零點(diǎn)．

解答：解：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，-x∈（-∞，0）
則f（-x）=-（-x）²-4（-x）-3=-x²+4x-3
∵f（x）是R的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=-f（-x）=-[-x²+4x-3]=x²-4x+3
（2）∵f（x）是R的奇函數(shù)∴f（0）=0
∴f(x)=

x2-4x+3，x＞0 0，x=0 -x2-4x-3，x＜0

令f（x）=0解得x=0或x=1或x=3或x=-1或x=-3
∴f（x）的零點(diǎn)為0，±1，±3

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式進(jìn)而求函數(shù)的零點(diǎn)．第一問解題的關(guān)鍵是將x＞0等價(jià)變形為-x＜0然后利用題中的條件和奇偶性即可得解．第二問要求函數(shù)的所有零點(diǎn)即要求f（x）（x∈R）的解析式而由題意和（1）可知x＞0，x＜0的解析式而無x=0的解析式因此x=0的解析式的求解就顯得非常重要了這是第二問正確解出的關(guān)鍵！