Question

已知x=是函數f（x）=的極值點．
（1）當b≠0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當b∈R時，函數y=f（x）﹣m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當x＞0時，f（x）=（x²﹣2ax）e^x，
∴f '（x）=（2x﹣2a）e^x+（x²﹣2ax）e^x=[x²+2（1﹣a）x﹣2a]e^x．
由已知得，，
∴2+2﹣2a﹣2=0，
解得a=1．
∴f（x）=（x²﹣2x）e^x，
∴f '（x）=（x²﹣2）e^x．
當x∈（0，）時，f '（x）＜0，
當x∈（）時，f '（x）＞0．
又f（0）=0，所以當b＜0時，f（x）在（﹣）上單調遞減，（）單調遞增；
當b＞0時，f（x）在（﹣∞，0），（）上單調遞增，在（0，）上單調遞減．
（2）由（1）知，當x∈（0，）時，f（x）單調遞減，f（x）∈（），
當x時，f（x）單調遞增，f（x）∈（（2﹣2），+∞）．
要使函數y=f（x）﹣m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或m=（2﹣）；
②當b=0時，m∈（（2﹣2），0）；
③當b＜0時，m∈（（2﹣2），+∞）．