Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為

2

2

a，點(diǎn)D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）若

A1D

A1C1

=

4

5

，二面角A₁-AB₁-D平面角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B交AB₁于E點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理，我可DE∥BC₁，再由線面平行的判定定理，即可得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過(guò)D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面A₁ABB₁，過(guò)M作MN⊥AB₁于N，連接DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，解三角形DMN即可求出二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值．

解答：解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點(diǎn)，（1分）
在平行四邊形ABB₁A₁中，
有A₁E=BE，又A₁D=DC₁（3分）
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D
∴直線BC₁∥平面AB₁D；                           （5分）
（2）過(guò)D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面A₁ABB₁，過(guò)M作MN⊥AB₁于N，連接DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，（7分）
∵

A1D

A1C1

=

4

5

，
∴

A1M

A1B1

=

2

5

，DM=

2 3 a

5

，
過(guò)A₁作A₁F⊥AB₁于F，則A1F=

3

3

a

MN

A1F

=1-

2

5

=

3

5

⇒MN=

3 a

5

，（10分）
∴tanθ=

DM

MN

=

2 3 a 5

3 a 5

=2．                                         （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得DE∥BC₁，（2）的關(guān)鍵是確定∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角θ．