四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,CD∥AB,AB=4,CD=1,點M在PB上,且MB=3PM,PB與平面ABC成30°角.
(1)求證:CM∥面PAD;
(2)求證:面PAB⊥面PAD;
(3)求點C到平面PAD的距離.
【答案】
分析:根據(jù)題意,建立空間直角坐標系O-xyz,C為坐標原點O,
(1)要證CM∥面PAD,只需求出向量
與面PAD內的向量
、
共面即可.
( 2)過B作BE⊥PA,E為垂足.要證面PAB⊥面PAD,只需證明面PAB內的向量
垂直面PAD內的直線PA、DA即可;
(3)利用
在平面PAD的單位向量上的射影,求點C到平面PAD的距離.
解答:解:如圖,建立空間直角坐標系O-xyz,C為坐標原點O,
(1)證明:如圖,建立空間直角坐標系.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角,即∠PBC=30°.
∵|PC|=2,∴|BC|=2
,|PB|=4.
得D(1,0,0)、B(0,2
,0)、
A(4,2
,0)、P(0,0,2).
∵|MB|=3|PM|,
∴|PM|=1,M(0,
,
),
=(0,
,
),
=(-1,0,2),
=(3,2
,0).
設
=x
+y
(x、y∈R),
則(0,
,
)=x(-1,0,2)+y(3,2
,0)⇒x=
且y=
,
∴
=
+
.
∴
、
、
共面.又∵C∉平面PAD,故CM∥平面PAD.
(2)證明:過B作BE⊥PA,E為垂足.
∵|PB|=|AB|=4,∴E為PA的中點.
∴E(2,
,1),
=(2,-
,1).
又∵
•
=(2,-
,1)•(3,2
,0)=0,
∴
⊥
,即BE⊥DA.
而BE⊥PA,∴BE⊥面PAD.
∵BE?面PAB,∴面PAB⊥面PAD.
(3)解:由BE⊥面PAD知,
平面PAD的單位向量n
=
=
(2,-
,1).
∴CD=(1,0,0)的點C到平面PAD的距離
d=|n
•
|=|
(2,-
,1)•(1,0,0)|=
.
點評:本題主要考查空間直角坐標系的概念、空間點和向量的坐標表示以及用向量法證明平行關系,同時考查向量研究空間圖形的數(shù)學思想方法.突破點在于求出相關的向量所對應的坐標.