Question

四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，點M在PB上，且MB=3PM，PB與平面ABC成30°角．
（1）求證：CM∥面PAD；
（2）求證：面PAB⊥面PAD；
（3）求點C到平面PAD的距離．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系O-xyz，C為坐標原點O，
（1）要證CM∥面PAD，只需求出向量與面PAD內的向量、共面即可．
（ 2）過B作BE⊥PA，E為垂足．要證面PAB⊥面PAD，只需證明面PAB內的向量垂直面PAD內的直線PA、DA即可；
（3）利用在平面PAD的單位向量上的射影，求點C到平面PAD的距離．
解答：解：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz，C為坐標原點O，
（1）證明：如圖，建立空間直角坐標系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2，0）、
A（4，2，0）、P（0，0，2）．
∵|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），
=（-1，0，2），=（3，2，0）．
設=x+y（x、y∈R），
則（0，，）=x（-1，0，2）+y（3，2，0）⇒x=且y=，
∴=+．
∴、、共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）證明：過B作BE⊥PA，E為垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E為PA的中點．
∴E（2，，1），=（2，-，1）．
又∵•=（2，-，1）•（3，2，0）=0，
∴⊥，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．
（3）解：由BE⊥面PAD知，
平面PAD的單位向量n==（2，-，1）．
∴CD=（1，0，0）的點C到平面PAD的距離
d=|n•|=|（2，-，1）•（1，0，0）|=．
點評：本題主要考查空間直角坐標系的概念、空間點和向量的坐標表示以及用向量法證明平行關系，同時考查向量研究空間圖形的數(shù)學思想方法．突破點在于求出相關的向量所對應的坐標．