正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=
5
，AB=BC=CA=
3
，則其外接球的表面積為
25π
4
25π
4
．
分析：先確定底面三角形外接圓的半徑，進(jìn)而求得正三棱錐的高，再利用勾股定理，求得外接球的半徑，即可求得外接球的表面積．
解答：解：設(shè)P在平面ABC中的射影為D，則
∵AB=BC=CA=
3
，∴AD=
2
3
×
3
2
×
3
=1
∵PA=
5
，∴PD=
5-1
=2
設(shè)外接球的半徑為R，則R2=1+（2-R）2
∴R=
5
4

∴外接球的表面積為4πR2=
25π
4

故答案為：
25π
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查正三棱錐的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用正三棱錐的性質(zhì)是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為
3
3
a
3
3
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•鎮(zhèn)江一模）在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)結(jié)論：①AC⊥PB； ②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是
①②
①②
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，若∠CEF=90°，且AB=
2
，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
6
6
6
6
．

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