Question

解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 過(guò)點(diǎn)P(1，0)作曲線C：y＝x2(x∈(0,＋∞))的切線，切點(diǎn)為Q1，設(shè)點(diǎn)Q1在x軸上的投影為P1(即過(guò)點(diǎn)Q1作x軸的垂線，垂足為P1)，又過(guò)點(diǎn)P1作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)點(diǎn)Q2在x軸上的投影為P2，…，依次下去，得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，Q3，…，Qn，…，設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為an，n∈N*． (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2) 比較an與的大小,并證明你的結(jié)論； (3) 設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證：對(duì)任意的正整數(shù)n均有≤Sn＜2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依題意，，，…，的坐標(biāo)分別為則，，，…，的坐標(biāo)分別為 由于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線(2分) 由于直線與曲線C相切點(diǎn)Qn+1，則 即而，則，即數(shù)列為等比數(shù)列(4分)， 因此(5分)
(2)	解：當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，(7分) 證明：當(dāng)，時(shí)，通過(guò)計(jì)算易得；(8分) 當(dāng)，,由于,∴展開(kāi)式中至少含有4項(xiàng), ∴，即，∵，∴(10分)
(3)	解：由于,則,即,∴數(shù)列為遞增數(shù)列，而為正整數(shù)，則，故(11分)． (12分)(13分) 綜上知對(duì)正整數(shù)均有(14分)