Question

已知{a_n}的各項均為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為S_n，若2S_n=a_n²+a_n（n≥1），且a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=2 an ，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n+4=2b．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）兩式作差求得結(jié)論；
（2）由（1）數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項和公式求得T_n，即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=a_n²+a_n（n≥1），
∴n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
兩式相減，得2a_n=

a

2 n

-

a

2 n-1

+a_n-a_n-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
又2s₁=

a

2 1

+a₁，
即

a

2 1

-a₁=0，解得：a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
 又a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列．
∴

a

2 3

=a₁a₇，即(a1+2)2=a₁（a₁+6），解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1．
（2）證明：由（1）得b_n=2an=2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4，
∴T_n+4=2ⁿ⁺²=2b_n．

點評：本題主要考查利用公式法求通項公式的方法及等比數(shù)列的前n項和公式，考查方程思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬中檔題．