Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，點P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=2（1-

1

an

），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足log2an+1=(cn)n+1，證明：數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．

Answer 1

分析：（I）利用點在直線上，推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n=2（1-

1

an

）的表達式，x寫出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，然后直接求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）解法一，設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足log2an+1=(cn)n+1，借助函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)直接證明數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．
解法二：直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．

解答：解：（Ⅰ）依題意得s_n=2a_n-2，則n≥2時，s_n-1=2a_n-1-2∴n≥2時，s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1…（2分）
又n=1時，a₁=2∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列∴an=2•2n-1=2n…（4分）
（Ⅱ）依題bn=2-(

1

2

)n-1∴Tn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

 = 2n-2+2×(

1

2

)n…（7分）
由T_n＞2011，得2n-2+2×(

1

2

)n＞2011，即n+(

1

2

)n＞

2013

2

當n≤1006時，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，當n≥1007時，n+(

1

2

)n＞

2013

2

，
因此n的最小值為1007                 …（9分）
（Ⅲ）解法一：
由已知得(cn)n+1=n+1 ， (n+1)lncn=ln(n+1)，∴lncn=

ln(n+1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，則 f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

…（11分）
∵當x≥3，lnx＞1，則1-1nx＜0，
即f′（x）＜0
在[3，+∞）內(nèi)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列…（13分）
∵cn＞0，  ∴ c1=

2

，c2= 3

3

，∴c₁＜c₂∴數(shù)列{c_n}中的最大項為c2= 3

3

…（14分）
解法二：由已知得(cn)n+1=n+1，∴cn=(n+1)

1

n+1

∵c_n＞0，∴c1=

2

，c2=3

1

3

，c3=4

1

3

，c4=5

1

3

，易得c1＜c2，c2＞c3＞c4
猜想n≥3時，cn-1＞cn，  n

1

n

＞(n+1)

1

n+1

，(其中n=3，c2＞c3)，即nn+1＞(n+1)n…（11分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）
①n=3時，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ．所以n=3時不等式成立
②假設(shè)n=k時，不等式成立．則有kk+1＞(k+1)k，即(

k+1

k

)k＜k
當n=k+1時，(

k+2

k+1

)k+1=

k+2

k+1

(

k+2

k+1

)k＜

k+2

k+1

(

k+1

k

)k＜

k+2

k+1

k＜k+1
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1時，不等式成立
由①②知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ對一切不小于3的正整數(shù)成立．
綜上所述n≥3時，c_n-1＞c_n，c₁＜c₂
所以數(shù)列中c₂最大．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式的求法，數(shù)列的求和，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查邏輯推理能力，計算能力．