Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項和S_n=2n²+2n，數(shù)列{b_n} 的前n項和T_n=2-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n} 與{b_n} 的通項公式；
（2）設c_n=a_n²•b_n，求數(shù)列{c_n}的最大值．

Answer 1

解：（1）由于a₁=S₁=4
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
∴a_n=4n，n∈N^*，
又當n≥2時b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴數(shù)列b_n是等比數(shù)列，其首項為1，公比為，∴b_n=（）^n-1．
（2）由（1）知C₁=a₁²b_n=16n²（）^n-1，==．
由＜1得＜1，解得n≥3．
又n≥3時，＜1成立，即＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，當且僅當n≥3時c_n+1＜c_n．C₁=16，C₂=32，C₃=38，
所以數(shù)列{c_n}的最大值38．
分析：（1）由題意求出a₁=4，利用a_n=S_n-S_n-1化簡可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1，可得2b_n=b_n-1說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由題意c_n=a_n²•b_n，推出的取值范圍，由此判斷數(shù)列滿足c_n+1＜c_n．進而可求出數(shù)列{c_n}的最大值．
點評：由a_n=S_n-S_n-1可求出b_n和a_n，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，進而得到c_n，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．考查計算能力．