Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x-1．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值及取得最值時的x的取值．

Answer 1

分析：將f（x）解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出f（x）的最小值與最大值，以及取得最值時x的值．

解答：解：f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
則當x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-1；當x=

π

6

時，f（x）取得最大值2．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．