Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）²（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f （x）在x＝1處有極值，判斷該極值是極大值還是極小值；
（Ⅱ）對(duì)滿足條件a≤的任意一個(gè)a，方程f （x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是多少？

Answer 1

（１）極大值；（２）２

（Ⅰ）f＇（x）＝

                                            …………2分


—1<x<1時(shí)，f＇（x）>0；x>1時(shí)，f＇（x）<0，
∴f（x）在（—1，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)
所以f（1）為函數(shù)f（x）的極大值                                         …………4分
（Ⅱ）

              …………5分



+∞）是為減函數(shù)
因此f（x）在x＝—1+處取得區(qū)間（—1，+∞）上的最大值                   ——6分
由f（—1+）＝0得a＝—                                       …………7分
（1）當(dāng)a<時(shí)，f（—1+
所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根                     …………8分
（2）當(dāng)a＝時(shí)，f（—1+
所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根
—1+…………9分
（3）當(dāng)a≤時(shí)，≤1，
又f（0）a<0，f（—1+
f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，
所以方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根．              …………11分
綜上所述，
當(dāng)a＜時(shí)，方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a時(shí)，方程f（x）＝0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)≤時(shí)，方程f（x）＝0 在區(qū)間（0，3），內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根．
…………12分