Question

定義域為R的函數(shù)f(x)=

1 |x-1| (x≠1) 1(x=1)

，若關于x的函數(shù)h(x)=f2(x)+bf(x)+

1

2

有5個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于（　�。�

• A、

  2b2+2

  b2

• B、16
• C、5
• D、15

Answer 1

分析：作出f（x）的圖象，由圖知，只有當f（x）=1時有兩解，欲使關于x的方程h(x)=f2(x)+bf(x)+

1

2

有5個不同的實數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則必有f（x）=1這個等式，由根與系數(shù)的關系得另一個根是f（x）=

1

2

，從而可得5個根的平方和，問題得到解決．

解答：解：作出f（x）的圖象：
由圖知，只有當f（x）=1時有兩解；
∵關于x的方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0有5個不同的實數(shù)解：
x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
∴必有f（x）=1，從而x₁=1，x₂=2，x₃=0．
由根與系數(shù)的關系得另一個根是f（x）=

1

2

，
從而得x₄=3，x₅=-1．
∴原方程的五個根分別為：-1，0，1，2，3，
故可得x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=15．
故選D．

點評：本題考查復合函數(shù)的零點問題，復合函數(shù)的零點的問題，必須要將f（x）看成整體，利用整體思想解決．數(shù)形結合也是解決此題的關鍵，利用函數(shù)的圖象可以加強直觀性，同時也便于問題的理解．