已知a，b，c均為正數(shù)，證明：并確定a、b、

c為何值時(shí)，等號(hào)成立．

 

【答案】

利用重要不等式a2＋b2≥2ab來(lái)分析并證明，先展開(kāi)，然后借助于不等式來(lái)得到。

【解析】

試題分析：、證明　因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①

同理，②

故.③

所以原不等式成立．

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時(shí)，③式等號(hào)成立．

即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，原式等號(hào)成立．

考點(diǎn)：重要不等式

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用重要不等式進(jìn)行放縮來(lái)證明不等式的方法，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，記M=max{
1
ac
+b，
1
a
+bc，
a
b
+c}，則M的最小值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知直角△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以a為首項(xiàng)的等差數(shù)列{an }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{Xn}滿足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n（n∈N+），證明：數(shù)列{
Xn
 }中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且Xn是正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設(shè)矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)α=
π
3
時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期2月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，記，則M的最小值為     ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直角△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以a為首項(xiàng)的等差數(shù)列{an }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且數(shù)學(xué)公式，求滿足不等式數(shù)學(xué)公式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{Xn}滿足數(shù)學(xué)公式（n∈N+），證明：數(shù)列{數(shù)學(xué)公式 }中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且Xn是正整數(shù)．

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