Question

某電視臺綜藝頻道組織的闖關(guān)游戲，游戲規(guī)定前兩關(guān)至少過一關(guān)才有資格闖第三關(guān)，闖關(guān)者闖第一關(guān)成功得3分，闖第二關(guān)成功得3分，闖第三關(guān)成功得4分．現(xiàn)有一位參加游戲者單獨闖第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)成功的概率分別為

1

2

、

1

3

、

1

4

，記該參加者闖三關(guān)所得總分為ξ．
（1）求該參加者有資格闖第三關(guān)的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）由單獨闖第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)成功的概率分別為

1

2

、

1

3

、

1

4

，及前兩關(guān)至少過一關(guān)才有資格闖第三關(guān)，可知參加者有資格闖第三關(guān)為事件A的概率P（A）=p₁（1-p₂）+（1-p₁）p₂+p₁p₂，代入易求結(jié)果．
（2）首先根據(jù)游戲的計分規(guī)則，要分析ξ可能取的值，列出分布列，即可求出數(shù)學期望．

解答：（1）設(shè)該參加者單獨闖第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)成功的概率分別為：
p1=

1

2

、p2=

1

3

、p3=

1

4

，
該參加者有資格闖第三關(guān)為事件A．
則P(A)=p1(1-p2)+(1-p1)p2+p1p2=

2

3

；
（2）由題意可知，ξ的可能取值為0、3、6、7、10，
P(ξ=0)=(1-p1)(1-p2)=

1

3

，
P(ξ=3)=p1(1-p2)(1-p3)+(1-p1)p2(1-p3)=

1

4

+

1

8

=

3

8

，
P(ξ=6)=p1p2(1-p3)=

1

8

，
P(ξ=7)=p1(1-p2)p3+(1-p1)p2p3=

1

12

+

1

24

=

1

8

，
P(ξ=10)=p1p2p3=

1

24

，
所以ξ的分布列為

所以ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

1

3

+3×

3

8

+6×

1

8

+7×

1

8

+10×

1

24

=3

1

6

點評：本題所考查的知識點難度不高，理解起來很容易，思路也較清晰，但由于解題思路受題目中游戲規(guī)則的限制，故解決本題的關(guān)鍵是仔細分析題意，特別是計分規(guī)則，及每種分值產(chǎn)生的情況，不要有重復和遺漏，否則對結(jié)果，特別是分布列和數(shù)學期望的計算產(chǎn)生重大的影響．