Question

（2011•鹽城模擬）已知f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)m∈R時，試比較f（m-1）與f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整數(shù)m（m≥-2），使得存在實(shí)數(shù)t，對任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時，-x＞0，利用f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=ln（x+2），可求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，f（x）=ln（x+2）單調(diào)遞增，而f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，從而可得當(dāng)m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；當(dāng)m=2時，f（m-1）=f（3-m）；當(dāng)m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）；
（Ⅲ）當(dāng)x∈R時，f（x）=ln（|x|+2），則|x+t|+2≤（x+3）²對x∈[m，10]恒成立，從而有

t≤x2+5x+7 t≥-x2-7x-7

對x∈[m，10]恒成立，由此可求適合題意的最小整數(shù)m的值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，f（x）=ln（x+2）單調(diào)遞增，而f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²
所以m＞2…（6分）
所以當(dāng)m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；當(dāng)m=2時，f（m-1）=f（3-m）；當(dāng)m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)x∈R時，f（x）=ln（|x|+2），則由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）²，
即|x+t|+2≤（x+3）²對x∈[m，10]恒成立…（12分）
從而有

t≤x2+5x+7 t≥-x2-7x-7

對x∈[m，10]恒成立，因?yàn)閙≥-2，
所以

t≤(x2+5x+7)min=m2+5m+7 t≥(-x2-7x-7)max=-m2-7m-7

…（14分）
因?yàn)榇嬖谶@樣的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以適合題意的最小整數(shù)m=-1…（16分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問題，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．