如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=a,D,E分別為棱AB,BC的中點(diǎn),M為棱AA1上的點(diǎn),二面角M―DE―A為30°.

(I)證明:A1B1⊥C1D;

(II)求MA的長(zhǎng),并求點(diǎn)C到平面MDE的距離.

答案:
解析:

  (Ⅰ)證明:連結(jié)CD,

  ∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱.

  ∴CC1⊥平面ABC,

  ∴CDC1D在平面ABC內(nèi)的射影,

  ∵△ABC中,ACBC,DAB中點(diǎn).

  ∴ABCD

  ∴ABC1D,

  ∵A1B1AB,

  ∴A1B1C1D;

  (Ⅱ)解法一:過點(diǎn)ACE的平行線,交ED的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)MF

  ∵DE分別為AB、BC的中點(diǎn).

  ∴DEAC

  又∵AFCECEAC,

  ∴AFDE

  ∵MA⊥平面ABC

  ∴AFMF在平面ABC內(nèi)的射影.

  ∴MFDE,

  ∴∠MFA為二面角MDEA的平面角,∠MFA-30°.

  在Rt△MAF中,AF-,

  ∴AM

  作ACMF,垂足為G

  ∵M(jìn)F⊥DE,AF⊥DE,

  ∴DE⊥平面AMF

  ∴平面MDE⊥平面AMF

  ∴AG⊥平面MDE

  在Rt△GAF中,∠GFA-30°,AF=,

  ∴AG,即A到平面MDE的距離為

  ∵CADE,∴CA∥平面MDE,

  ∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等,為

  解法二:過點(diǎn)ACE的平行線,交ED的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)MF

  ∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn),

  DEAC,

  又∵AFCE,CEAC

  ∴AFDE,

  ∵MA⊥平面ABC

  ∴AFMF在平面ABC內(nèi)的射影,

  ∴MFDE,

  ∴∠MFA為二面角MDEA的平面角,∠MFA-30°.

  在Rt△MAF中,AF=BC=,

  ∴AM=.  8分

  設(shè)C到平面MDE的距離為h

  ∵,

  ∴

  ,

  ,

  ,

  ∴h=,即C到平面MDE的距離為.  12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

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