Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA₁上的點(diǎn)，二面角M―DE―A為30°．

(I)證明：A₁B₁⊥C₁D；

(II)求MA的長(zhǎng)，并求點(diǎn)C到平面MDE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：連結(jié)CD， 　　∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱． 　　∴CC1⊥平面ABC， 　　∴CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影， 　　∵△ABC中，AC＝BC，D為AB中點(diǎn)． 　　∴AB⊥CD， 　　∴AB⊥C1D， 　　∵A1B1∥AB， 　　∴A1B1⊥C1D; 　　(Ⅱ)解法一：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF． 　　∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)． 　　∴DE∥AC． 　　又∵AF∥CE，CE⊥AC， 　　∴AF⊥DE． 　　∵MA⊥平面ABC， 　　∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影． 　　∴MF⊥DE， 　　∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA－30°． 　　在Rt△MAF中，AF－， 　　∴AM＝． 　　作AC⊥MF，垂足為G． 　　∵M(jìn)F⊥DE，AF⊥DE， 　　∴DE⊥平面AMF， 　　∴平面MDE⊥平面AMF． 　　∴AG⊥平面MDE 　　在Rt△GAF中，∠GFA－30°，AF＝， 　　∴AG＝，即A到平面MDE的距離為． 　　∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE， 　　∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為． 　　解法二：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF， 　　∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn)， 　　DE∥AC， 　　又∵AF∥CE，CE⊥AC， 　　∴AF⊥DE， 　　∵MA⊥平面ABC， 　　∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影， 　　∴MF⊥DE， 　　∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA－30°． 　　在Rt△MAF中，AF＝BC＝， 　　∴AM＝．　　8分 　　設(shè)C到平面MDE的距離為h． 　　∵， 　　∴， 　　， 　　， 　　， 　　∴h＝，即C到平面MDE的距離為．　　12分