Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n．等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍；
（Ⅲ）若a1=

1

2

，判別方程S_n+T_n=55是否有解？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₄=2S₂+4，可求得公差d的值；
（Ⅱ）依題意，等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，須

a8≤0 a9≥0

，從而可求a₁的取值范圍；
（Ⅲ）由題意可求得b₁=

1

3

，q=

1

3

，從而求得T_n，由等差數(shù)列的求和公式求得S_n，再結(jié)合S_n+T_n=55即可分析得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+

3×4

2

d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必須有

a8≤0 a9≥0

，即

a1+7d≤0 a1+8d≥0

．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b2=

1

9

，T2=

4

9

，即

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

，解得b₁=

1

3

，q=

1

3

，
∴Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，又S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=

1

2

n²，…2
則方程S_n+T_n=55轉(zhuǎn)化為：n²+[1-(

1

3

)n]=110．
令：f（n）=n²+1-(

1

3

)n，知f（n）單調(diào)遞增，
當(dāng)1≤n≤10時(shí)，f（n）≤100+[1-(

1

3

)n]＜100+1=101，
當(dāng)n≥11時(shí)，f（n）≥11²+[1-(

1

3

)11]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55無(wú)解．…3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，突出考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題．