Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₅，…構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中間一個(gè)數(shù)a₁，a₃，a₇，…構(gòu)成數(shù)列{c_n}，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a₁₃=1．①求S_n；②記M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N^*}，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè){b_n}的公差為d，則

b1+d=4 b1+4d=10

，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個(gè)數(shù)，且3²＜13＜4²，解得q=

1

2

，cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，所以Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，由錯(cuò)位相減法能夠求得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由cn=

n

2n-2

，知不等式（n+1）c_n≥λ，可化為

n(n+1)

2n-1

≥λ，設(shè)f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，由此能夠推導(dǎo)出λ的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè){b_n}的公差為d，
則

b1+d=4 b1+4d=10

，解得

b1=2 d=2

，∴b_n=2n．
（2）①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個(gè)數(shù)，且3²＜13＜4²，
∴a₁₀=b₄=8，
∴a₁₃=a₁₀q³=8q³，
又a₁₃=1，解得q=

1

2

，
∴cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，
∴Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，

1

2

Sn=

1

20

+

2

2

+…+

n-1

2 n-2

+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

解得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由①知，cn=

n

2n-2

，不等式（n+1）c_n≥λ，可化為

n(n+1)

2n-2

≥λ，
設(shè)f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，
∴n≥3時(shí)，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素個(gè)數(shù)是3，
∴λ的取值范圍是（4，5]．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的計(jì)算和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要注意方程思想和錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．