Question

（2008•鹽城一模）已知函數(shù)f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x₀∈（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)”成立，
（1）利用這個(gè)性質(zhì)證明x₀唯一．
（2）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用反證法，假設(shè)存在x₀′，x₀（a，b），考察得出函數(shù)f′（x）是[a，b]上的單調(diào)遞增函數(shù)，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，得出

BA

•

BC

＜0，cosB＜0，∠B為鈍角，△ABC為鈍角三角形．

解答：（1）證明：假設(shè)存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得f（b）-f（a）=（b-a）f'（x₀）…①f（b）-f（a）=（b-a）f'（x'₀）…②
①-②得，（b-a）f'（x₀）=（b-a）f'（x'₀）．
∵b＞a，∴b-a≠0，∴f'（x₀）=f'（x'₀）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-1=

-1

1+ex

，記g(x)=f′(x)=-

1

1+ex

，
∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)．
∴x₀=x'₀，這與x'₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃
∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0，∴f（x）是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)．
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

-(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B為鈍角．
故△ABC為鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，向量坐標(biāo)運(yùn)算及幾何意義，反證法的解題思想．綜合性強(qiáng)，值得體會(huì)．