Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

3

2

x2+(a+1)x+1，其中a為實數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞2x²-x-a+1對x∈[0，1]都成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=ax²-3x+（a+1），
由于函數(shù)f（x）在x=1時取得極值，
所以f′（1）=0，即a-3+a+1=0，
∴a=1．
（Ⅱ）由題設(shè)知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1，對任意x∈[0，1]都成立，
即（a-1）x²-2x+2a＞0對任意x∈[0，1]都成立，
令g（x）=（a-1）x²-2x+2a，
①當(dāng)a=1時，由g（x）＞0解得x＜1，顯然x=1時不成立，故a≠1；
②當(dāng)a-1＜0，即a＜1時，g（x）=（a-1）x²-2x+2a開口向下，g（x）的對稱軸為x=-

-2

2(a-1)

=

1

a-1

＜0，
∴g（x）=（a-1）x²-2x+2a在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）＞0?g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，與a＜1矛盾，故a＜1不符合題意；
③當(dāng)a-1＞0，即a＞1時，g（x）=（a-1）x²-2x+2a開口向上，g（x）的對稱軸為x=-

-2

2(a-1)

=

1

a-1

＞0，
若0＜

1

a-1

≤1，即a≥2時，g（x）_min=g（

1

a-1

）=2a-

1

a-1

＞0?a＞

1+ 3

2

或a＜

1- 3

2

，
∴a≥2；
若

1

a-1

＞1，即

2-a

a-1

＞0?1＜a＜2時，g（x）=（a-1）x²-2x+2a開口向上，
∴g（x）＞0?g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，又1＜a＜2，
∴1＜a＜2．
綜上所述，a＞1．