Question

（2012•梅州一模）設(shè)x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，則

3

a

+

4

b

的最小值為（　�。�

• A．4
• B．

  7+4 3

  7

• C．

  24

  7

• D．7

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=ax+by對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=3，y=4時(shí)，z最大值為3a+4b=7．然后利用常數(shù)代換結(jié)合基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，

3

a

+

4

b

的最小值為7．

解答：解：作出不等式組

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）
設(shè)z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），將直線l：z=ax+by進(jìn)行平移，
當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z_最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得

1

7

（3a+4b）=1
因此，

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）（

3

a

+

4

b

）=

1

7

（25+

12b

a

+

12a

b

）
∵

12b

a

+

12a

b

≥2

12b a • 12a b

=24
∴

1

7

（25+24）≥

1

7

×49=7，
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，

3

a

+

4

b

的最小值為7
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，在已知目標(biāo)函數(shù)z=ax+by最大值為7的情況下求

3

a

+

4

b

的最小值．著重考查了運(yùn)用基本不等式求最值和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．