已知M是△ABC內(nèi)的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．
分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出AB•AC，從而求出△ABC的面積，而△MBC，△MCA和△MAB的面積和即為△ABC的面積，即可求出所求；
（2）先在等式f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
兩邊同乘以x+y+z，然后利用均值不等式進行求解即可．
解答：解：（1）
AB
•
AC
=2
3
=AB•AC•cos30°精英家教網(wǎng)
∴AB•AC=4，S△ABC=
1
2
AB•AC•sin30°=1=x+y+z
（2）∵1=x+y+z
∴f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
=（
1
x
+
4
y
+
9
z
）（x+y+z）
=1+4+9+
y
x
+
4x
y
+
z
x
+
9x
z
+
4z
y
+
9y
z

≥14+4+6+12=36，
故答案為：1，36
點評：本題主要考查了向量的應用，以及三角形的面積公式，同時考查了均值不等式的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值是（　�。�
A、20B、18C、16D、9

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
，此時f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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