Question

如圖，下面的表格內(nèi)的數(shù)值填寫規(guī)則如下：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項(xiàng)為1，公比為q的數(shù)列{a_n}依次填入第一列的空格內(nèi)；其它空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）設(shè)第2行的數(shù)依次為b₁，b₂，…，b_n，試用n，q表示b₁+b₂+…+b_n的值；
（2）設(shè)第3列的數(shù)依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，求證：對于任意非零實(shí)數(shù)q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）能否找到q的值，使得（2）中的數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m項(xiàng)c₁，c₂，…，c_m（m≥3）成為等比數(shù)列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q，從而可求得b₁+b₂+…+b_n的值；
（2）依題意，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，易求c₁+c₃-2c₂=q²，從而可證對于任意非零實(shí)數(shù)q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）先設(shè)c₁，c₂，c₃成等比數(shù)列，可求得q=-

1

2

，此時c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，顯然c₁，c₂，c₃是一個公比為

3

2

的等比數(shù)列；當(dāng)m≥4，c₁，c₂，…，c_m為等比數(shù)列，可導(dǎo)出矛盾，從而可知當(dāng)m=3且q=-

1

2

時，數(shù)列c₁，c₂，…，c_m是等比數(shù)列．

解答：解：（1）b₁=q，b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q，
所以 b₁+b₂+…+b_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq．…（3分）
（2）c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，…（5分）
由c₁+c₃-2c₂=1+3+2q+q²-2（2+q）=q²＞0得 c₁+c₃＞2c₂．…（7分）
（3）先設(shè)c₁，c₂，c₃成等比數(shù)列，由c1c3=

c

2 2

，得 3+2q+q²=（2+q）²，解得q=-

1

2

．
此時 c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，所以c₁，c₂，c₃是一個公比為

3

2

的等比數(shù)列．…（9分）
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m為等比數(shù)列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比數(shù)列．
由上所述，此時q=-

1

2

，c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，c₄=

23

8

，…由于

c4

c3

≠

3

2

，
因此，對于任意m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比數(shù)列．…（11分）
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)m=3且q=-

1

2

時，數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c_m是等比數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查分析法與綜合法，突出考查反證法的應(yīng)用，考查推理分析與證明及運(yùn)算能力，屬于難題．