Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f(

1

2

)=-1且滿足x，y∈（-1，1）時，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an2

，x_n=f（a_n），求{x_n}的通項公式．
（3）求證：1+f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=-f(

1

n+2

)．

Answer 1

分析：利用賦值法，先令y=0可求f（0）=0，再令y=-x即可證明f（-x）=-f（x），即可
（2）由xn=f(an)=f(

2an-1

1+an-12

)=f（a_n-1）+f（a_n-1）=2f（a_n-1）=2x_n-1，可得{x_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求
（3）由

1

n2+3n+1

=

(n+2)-(n+1)

(n+2)(n+1)-1

=

1 n+1 +(- 1 n+2 )

1+ 1 n+1 •(- 1 n+2 )

及f（x+y）=f（

x+y

1+xy

）可得f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)+f(-

1

n+2

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，利用疊加可求

解答：（1）證明：令y=0得：f（x）+f（0）=f（x）所以f（0）=0
令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0所以f（-x）=-f（x）
又f（x）的定義域為（-1，1）
所以f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)
（2）解：∵xn=f(an)=f(

2an-1

1+an-12

)=f（a_n-1）+f（a_n-1）=2f（a_n-1）=2x_n-1
x1=f(a1)=f(

1

2

)=-1
所以{x_n}為以2為公比-1為首項的等比數(shù)列．  故xn=-2n-1
（3）證明：∵

1

n2+3n+1

=

(n+2)-(n+1)

(n+2)(n+1)-1

=

1 n+1 +(- 1 n+2 )

1+ 1 n+1 •(- 1 n+2 )

所以：f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)+f(-

1

n+2

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)
所以   f(

1

5

)=f(

1

2

)-f(

1

3

)
      f(

1

11

)=f(

1

3

)-f(

1

4

)
       …
      f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)
以上等式相加得：1+f(

1

5

)+f(

1

11

)+…f(

1

n2+3n+1

)=1+f(

1

2

)-f(

1

n+2

)=-f(

1

n+2

)

點評：本題主要考查了利用賦值法證明抽象函數(shù)的奇偶性，及等比數(shù)列的證明，通項公式的求解，疊加求解數(shù)列的和，本題是函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，具有一定的綜合性．