Question

線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（3，0），B（0，3），若拋物線(xiàn)y=x²-2ax+a²+1與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可求線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），由拋物線(xiàn)與線(xiàn)段所在的線(xiàn)段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2在[0，3]與x軸上有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：設(shè)線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，
分別把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3
所以，線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=-x+3（0≤x≤3）
聯(lián)立y=-x+3，y=x²-2ax+a²+1，得x²+（1-2a）x+a²-2=0，
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)與線(xiàn)段所在的線(xiàn)段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
令f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2
∴

△=(1-2a)2-4(a2-2)＞0 0＜ 2a-1 2 ＜3 f(0)=a2-2≥0 f(3)=a2-6a+10≥0

∴

a＜ 9 4 1 2 ＜a＜ 7 2 a≥ 2 或a≤- 2 a∈R

∴

2

≤a＜

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與曲線(xiàn)的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意解題中的x的范圍限制．