已知函數(shù)f(x)=x5+5x4+5x3+1
(1)求f(x)的極值
(2)求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大最小值.
解:f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+1)(x+3)
(1)當(dāng)x≥-1或x≤-3時(shí),f′(x)≥0;-3<x<1,f′(x)<0
函數(shù)在(-∞,-3)單調(diào)遞增,在(-3,-1)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增
故當(dāng)x=-3時(shí)函數(shù)有極大值28,當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)有極小值0
(2)由(1)知函數(shù)在[-2,-1]單調(diào)遞增,在(-1,2]單調(diào)遞減
則當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)有最小值-4
由于f(-2)=9,f(2)=153
所以函數(shù)在[-2,2]上的最大值為153,最小值為-4
分析:對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+1)(x+3)
(1)先判斷使得f′(x)≥0;f′(x)<0的范圍極為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間,進(jìn)而可求函數(shù)的極值
(2)由(1)知函數(shù)在[-2,-1]單調(diào)遞增,在(-1,2]單調(diào)遞減,從而可先求得函數(shù)的最小值
再比較端點(diǎn)值f(-2)與f(2)的大小,從而可求
點(diǎn)評(píng):本題是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中最基本的試題類(lèi)型:由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的極值及函數(shù)的最值,此類(lèi)問(wèn)題具有固定的求解模式,一般難度不大