Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[0，1]．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(2)設(shè)a≥1，函數(shù)g(x)＝x³－3a²x－2a，x∈[0，1]，若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g(x₀)＝f(x₁)成立，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
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解：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得(x)＝，令(x)＝0，解得x＝或x＝．當(dāng)x變化時(shí)，(x)、f(x)的變化情況如下表： 　　所以，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增． 　　當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－4，－3]． 　　(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得(x)＝3(x2－a2)． 　　因?yàn)閍≥1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，(x)＝3(x2－a2)≤0， 　　即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，有g(shù)(x)∈[g(1)，g(0)]． 　　又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a， 　　即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，有g(shù)(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任給x1∈[0，1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0，1]使得g(x0)＝f(x1)，則[1－2a－3a2，－2a] 提示：