Question

對于四面體ABCD，下列命題正確的是

①④⑤

（寫出所有正確命題的編號）．
①相對棱AB與CD所在的直線異面；
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)；
⑤最長棱必有某個端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱．

Answer 1

分析：①假設(shè)相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾；②只有當(dāng)四面體的對棱垂直，則垂足才是△BCD的三條高線的交點(diǎn)；③如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合．此時所作的兩條高所在的直線共面；④對應(yīng)邊中點(diǎn)的連線是平行四邊形對角線的交點(diǎn)；⑤不妨設(shè)AB為最長棱，分類討論（i）當(dāng)AC≥BD時，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，可判斷（ii）當(dāng)AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，可判斷

解答：解：①假設(shè)相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾，故①正確
②只有當(dāng)四面體的對棱垂直，則垂足才是△BCD的三條高線的交點(diǎn)，故②錯誤
③如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合．此時所作的兩條高所在的直線共面，故③錯誤
④對應(yīng)邊中點(diǎn)的連線是平行四邊形對角線的交點(diǎn)，是正確的．
⑤不妨設(shè)AB為最長棱，（i）當(dāng)AC≥BD時，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，則AD+AC≥AD+BD＞AB
（ii）當(dāng)AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，則DB+BC＞BC+AC＞AB
故⑤正確
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評：本題考查異面直線，三垂線定理，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力邏輯思維能力，屬于綜合試題