Question

6．若兩個(gè)函數(shù)y=f（x），y=g（x）在給定相同的定義域上恒有f（x）g（x）≥0，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)是“和諧函數(shù)”，已知f（x）=ax-20，$g（x）=lg（\frac{x}{a}）（a∈R）$在x∈N^*上是“和諧函數(shù)”，則a的取值范圍是[4，5]．

Answer 1

分析 運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得a＞0，求得f（x），g（x）的零點(diǎn)，由于4×5=20，討論當(dāng)0＜a＜4時(shí)，當(dāng)a＞5時(shí)，當(dāng)4≤a≤5時(shí)，由不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍．

解答 解：由定義域可得$\frac{x}{a}$＞0，由題意可得a＞0．
由f（x）=0，可得x=$\frac{20}{a}$，由g（x）=0，可得x=a．
由題意可得兩零點(diǎn)之間無(wú)正整數(shù)，
由于4×5=20，所以當(dāng)0＜a＜4時(shí)，$\frac{20}{a}$＞5，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)a＞5時(shí)，0＜$\frac{20}{a}$＜4，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)4≤a≤5時(shí)，4≤$\frac{20}{a}$≤5，滿(mǎn)足題意．
故答案為：[4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，以及轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．