Question

一列火車(chē)自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車(chē)站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B），車(chē)上有一節(jié)郵政車(chē)廂，每停靠一站便要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，試求：
（1）列車(chē)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車(chē)廂內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個(gè)？
（2）第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

Answer 1

設(shè)列車(chē)從各站出發(fā)時(shí)郵政車(chē)廂內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}
（1）由題意得：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
在第k站出發(fā)時(shí)，前面放上的郵袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）個(gè)
而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+（k-1）個(gè)
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)=kn-k2(k=1，2，…，n)
即列車(chē)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車(chē)廂內(nèi)共有郵袋數(shù)kn-k²（k=1，2，…n）個(gè)．…（6分）
（2）ak=-(k-

n

2

)2+

1

4

n2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k=

1

2

n時(shí)，最大值為

1

4

n2
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k=

1

2

(n-1)或k=

1

2

(n+1)時(shí)，最大值為

1

4

(n2-1)．
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第

n

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

n2個(gè)；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第

n-1

2

或第

n+1

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

(n2-1)個(gè)．…（14分）