Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（I）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；
（II）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

證明：（I）設(shè)F（x）=x²+lnx-x³，則，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．
又F（1）=-＜0，故在[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0，即x²+lnx＜x³，
∴在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；---------（6分）
（II）∵x＞0，∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=．
當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，有[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=++…+
=[++…+]
≥（++…+）=2ⁿ-2
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．--------------------（12分）
分析：（I）構(gòu)造F（x）=x²+lnx-x³，利用導(dǎo)數(shù)確定在[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0，即可得到結(jié)論；
（II）x＞0時(shí)，[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=，利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合基本不等式，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．