Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，并滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=1，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)直線PA經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

2

）時(shí)，求直線AB的方程；
（Ⅲ）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)P（（x，y），由題意可得

x2 4 + y2 2 =1 (- 2 -x，-y)•( 2 -x，-y)=1 x＞0，y＞0

，解得即可；
（II）由向量計(jì)算公式可得kPA=

1- 2

2 -1

=-1，兩條直線PA，PB傾斜角互補(bǔ)，可得k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為y-1=-(x-

2

)，y-1=x-

2

，分別與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式可得斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出方程；
（III）S設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線PA的方程為：y-1=k(x-

2

)，則直線PB的方程為y-1=-k(x-

2

)．分別與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出直線AB的斜率為定值．

解答：解：（I）由橢圓

x2

4

+

y2

2

=1可得c=

2

，∴兩焦點(diǎn)分別為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
設(shè)P（（x，y），由題意可得

x2 4 + y2 2 =1 (- 2 -x，-y)•( 2 -x，-y)=1 x＞0，y＞0

，解得

x= 2 y=1

，∴P(

2

，1)．
（II）∵kPA=

1- 2

2 -1

=-1，兩條直線PA，PB傾斜角互補(bǔ)，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為y-1=-(x-

2

)，y-1=x-

2

，
化為x+y-

2

-1=0，x-y-

2

+1=0．
聯(lián)立

x+y- 2 -1=0 x2+2y2=4

，解得

x= 2 y=1

（舍去），

x= 2 +4 3 y= 2 2 -1 3

，即A(

2 +4

3

，

2 2 -1

3

)．
同理解得B(

2 -4

3

，-

1+2 2

3

)．
∴k_AB=

- 1+2 2 3 - 2 2 -1 3

2 -4 3 - 2 +4 3

=

2

2

，∴直線AB的方程為y-

2 2 -1

3

=

2

2

(x-

2 +4

3

)，化為3

2

x-6y-4=0．
（III）S設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線PA的方程為：y-1=k(x-

2

)，則直線PB的方程為y-1=-k(x-

2

)．
聯(lián)立

y-1=k(x- 2 ) x2+2y2=4

，解得A(

2 2 k2-4k- 2

1+2k2

，

-2k2-2 2 k+1

1+2k2

)．
同理B(

2 2 k2+4k- 2

1+2k2

，

-2k2+2 2 k+1

1+2k2

)，
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

4 2 k

8k

=

2

2

．
即直線AB的斜率為定值

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練則直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程問(wèn)題、斜率公式、兩條直線PA，PB傾斜角互補(bǔ)?k_PA+k_PB=0等是解題的關(guān)鍵．