Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=1-

a

x2

，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（2）=3，即1-

a

4

=3
∴a=-8．
由切點(diǎn)P（2，f（2）在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x-

8

x

+9．
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=1-

a

x2

．
當(dāng)a≤0時(shí)，∵x≠0，∴f′（x）＞0，這時(shí)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=±

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	(- a ，0)	（0， a ）	a	( a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以，f（x）在（-∞，-

a

），(

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-

a

，0)，（0，

a

）內(nèi)是減函數(shù)．