Question

已知α為銳角，且sinα=

4

5

．
（1）求tan(α-

π

4

)的值；
（2）求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）由α為銳角及sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而得到tanα的值，然后把所求的式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將tanα的值代入即可求出值；
（2）所求式子分子第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，分母第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并后分子分母同時(shí)除以cos²α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵α為銳角，且sinα=

4

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
∴tanα=

4

3

，
則tan(α-

π

4

)=

tanα-1

1+tanα

=

1

7

；
（2）由（1）得到tanα=

4

3

，
則

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

2cos2α-sin2α

=

tan2α+2tanα

2-tan2α

=20．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，第二小問(wèn)弦化切的技巧是利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式把原式變形后，分子分母同時(shí)除以cos²α．