Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2-bx（a，b∈R）
（1）若y=f（x）圖象上的點(1，-

11

3

)處的切線斜率為-4，求y=f（x）的極大值；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，以及切點在圖象上建立方程組，解之即可求出a和b求出解析式，先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值即可；
（2）將條件“若y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)”轉(zhuǎn)化成f'（x）=x²+2ax-b≤0在區(qū)間[-1，2]上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)圖象建立約束條件，利用線性規(guī)劃的方法求出a+b的最小值即可．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²+2ax-b，
∴由題意可知：f'（1）=-4且f(1)=-

11

3

，

1+2a-b=-4 1 3 +a-b=- 11 3

解得

a=-1 b=3

（3分）
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x
f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3
由此可知：

∴當(dāng)x=-1時，f（x）取極大值

5

3

．（6分）
（2）∵y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f'（x）=x²+2ax-b≤0在區(qū)間[-1，2]上恒成立．
根據(jù)二次函數(shù)圖象可知f'（-1）≤0且f'（2）≤0，

即：

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≤0 4a-b+4≤0

（9分）
作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖：

當(dāng)直線z=a+b經(jīng)過交點P(-

1

2

，2)時，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值為

3

2

（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)的單調(diào)性和線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．