Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，且對(duì)一切n∈N^*有

n

i=1

a

3 i

=

S

2 n

，其中Sn=

n

i=1

ai．
（1）對(duì)一切n∈N^*，用a_n+1表示S_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

n

k=1

k

a 2 k

＜3．

Answer 1

分析：（1）

n

i=1

a

i 3

=

S

n 2

將

n

i=1

a

3 i

=

S

2 n

中n換成n+1得到

n+1

i=1

a

3 i

=

S

2 n+1

，兩式相減結(jié)合數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)間的關(guān)系即可得到
Sn=

1

2

(

a

2 n+1

-an+1)．
（2）利用（1）得到2S_n+1=a_n+1²+a_n+1，將n+1換成n得到另一個(gè)式子，兩式相減得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為1的等差數(shù)列，從而得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
 （3）先證明當(dāng)n≥2時(shí)，有

k

a 2 k

=

1

k• k

＜

1

k(k-1)

•

2

k + k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)，它是兩項(xiàng)差的形式，故利用數(shù)列求和的拆項(xiàng)相消法即可化簡(jiǎn)

n

k=1

k

a 2 k

，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）

n i=1 a 3 i = S 2 n n+1 i=1 a 3 i = S 2 n+1

⇒

a

3 n+1

=

S

2 n+1

-

S

2 n

=an+1(Sn+1+Sn)⇒

a

3 n+1

=an+1(an+1+2Sn)，
即a_n+1²=a_n+1+2S_n
⇒a_n+1²-a_n+1=2S_n
⇒Sn=

1

2

(

a

2 n+1

-an+1)…（4分）．
（2）a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1⇒2S_n+1=a_n+1²+a_n+1，
從而由

2Sn+1= a 2 n+1 +an+1 2Sn= a 2 n +an

⇒2an+1=(

a

2 n+1

-

a

2 n

)+an+1-an⇒an+1-an=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為1的等差數(shù)列，
故a_n=n；      …（9分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
有

k

a 2 k

=

1

k• k

＜

1

k(k-1)

•

2

k + k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)，
所以有

n

k=1

k

a 2 k

=1+

n

k=2

k

a 2 k

＜1+2

n

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=3-

2

n

＜3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)間的關(guān)系、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．